将JMAG电磁分析与modeFRONTIER工作流程相结合是一种强大的仿真驱动方法，用于优化电动汽车牵引电机的设计。JMAG是一款专为电机设计而开发的综合电磁场仿真软件，提供全面的功能，如磁场、热分析和结构分析，以识别潜在的设计改进。同时，modeFRONTIER是一款过程自动化和设计优化软件，能够将JMAG的电磁分析自动化，并融入仿真工作流程中。它通过同时考虑多个性能标准，实现多目标优化。modeFRONTIER协调仿真过程，管理JMAG与其他软件之间的数据交换。工程师可以定义设计参数、目标和约束，然后利用设计探索和优化算法，系统地探索设计空间，最终达到最佳设计解决方案。

永磁电机以其高效性、紧凑的尺寸和可靠性而闻名。在本研究中，我们旨在优化一款8极永磁电机的性能，有大量的约束条件和两种不同的工作条件：低转速[1200rpm]和高转速[9000rpm]。

该研究有11个自由参数，作为优化的输入：

· 几何参数 [Fb, L, Lm, Mw, Rs, So, Th] 定义了定子和转子的几何形状

· 两种工作条件的电流规格 [幅值, 相位]

电动牵引电机的几何形状和可变参数

永磁电机的优化需要考虑性能目标和结构限制，所有这些都作为约束条件或目标在我们的研究中进行考虑。

约束列表

在这个使用案例中，JMAG的牵引电机电磁分析涉及四个连续的研究步骤，每个步骤的几何形状和参数都由Analysis Group控制：

磁场分析：模拟电机内部的磁场分布，提供磁通和分布。这一分析评估电机性能，并预测会影响整体效率的损耗。

退磁分析：评估在各种操作条件下（如高温或过电流条件）永久磁铁退磁的风险。

结构分析：评估电机结构组件的机械完整性和性能。此分析考虑诸如机械应力、电机运行过程中产生的电磁力下的变形等因素。

接下来，我们将JMAG的电磁分析集成并自动化到modeFRONTIER工作流中，该工作流配置和管理输入输出变量，以及目标和约束条件，以执行设计探索和优化研究。

modeFRONTIER工作流中的设计过程自动化

研究首先通过实验设计（DOE）来探索设计空间，这可以使我们更好地理解优化问题的关键方面，例如变量参数化、输入/输出相关性和约束条件分析。在本研究中，我们使用均匀拉丁超立方（ULH）算法生成了300个设计。

modeFRONTIER的散点矩阵图用于DOE分析

散点矩阵图揭示了输入变量之间的低相关性，表明DOE数据集定义得很好，并且均匀地覆盖了输入参数空间。然而，300个设计中没有一个满足定义的约束条件，特别是在低速下的应力和扭矩值。这为设计优化任务提出了一个关键挑战。

约束失效分析

优化问题的复杂性来自于变量、约束和目标的数量。为了解决这一问题，探索了使用灵敏度分析作为降低问题维度的方法。对原始参数化进行的分析显示，所有输入变量都对系统响应产生了显著影响。

我们使用DOE结果作为初始种群，对多目标设计优化策略进行比较分析，以最大化扭矩（在高速和低速下）并最小化铁损（在高速下）。为了实现这一点，我们利用了modeFRONTIER的专有算法pilOPT。这种多策略自适应算法结合了局部和全局搜索方法的优点，智能地平衡了基于实际仿真和响应面（RSM）的优化，以有效地搜索帕累托前沿。

通过一步优化方法，我们已经取得了令人鼓舞的结果。该方法计算了1300个设计，找到了347个可行设计，并且获得了一个包含220个设计的Pareto前沿。

多步优化方法的目标是通过初步优化步骤识别可行区域，然后向该区域添加更多设计，最后利用所有收集到的信息初始化最终优化步骤。多步优化由以下三个步骤组成：

1. 初步优化

2. 基于主成分的设计实验（DOE）

3. 精细优化（3种不同方法）

初步优化包含了300次迭代，使用了pilOPT算法。尽管迭代次数低于第一种方法，但该算法找到了94个可行设计，足以描述可行区域。为了准确地在该区域内添加设计，我们需要一个能够表示这个复杂超空间的参数化。这就是为什么我们使用modeFRONTIER的主成分分析（PCA）工具的原因。

主成分分析（PCA）是一种统计技术，它通过保留数据的基本结构来降低数据的维度。PCA识别出数据集中最大方差的无相关方向，这些方向被称为主成分（PCs），它们捕捉了最重要的信息。这个转换使得数据集能够以更高效的方式表示，同时保留其基本特征。

PCA在高度约束优化中特别有用，原因有二：

1. 维度降低：在具有大量变量的优化问题中，PCA通过识别解释方差的最重要成分来帮助降低维度。关注这些主成分简化了优化问题，使其在计算上更容易处理。

2. 约束处理：PCA还帮助处理约束。例如，原始变量空间中的线性约束可以转换到主成分空间，从而简化其表示和操作。

在这个应用案例中，我们对输入变量进行了PCA分析，使用了第一步优化中获得的94个可行设计。虽然主成分的数量与输入变量的数量相同，但前七个主成分捕获了95.4%的方差。下图显示了按解释方差排序的主成分，每个主成分都有一个上下限，代表在主成分超空间中的可行区域。

主成分解释方差柱状图

可以通过减少变量的数量来降低问题的复杂性。这带来了两个关键的好处：

1. 降低优化问题的复杂性

2. 最小化由不重要变量引起的噪声

在这个应用案例中，我们考虑了所有的主成分（PCs），因为我们的目标是专注于重新参数化问题，而不仅仅是利用降维。通过保持相同的维度和问题复杂性，使用主成分分析（PCA）重新参数化输入变量，简化了可行超空间，从而使我们能够更有效地专注于可行区域。需要注意的是，这种方法假设94个设计足以描述可行区域。这个假设是一个关键约束，它是主观定义的。显然，我们考虑的可行设计越多，PCA分析对可行区域的表示就会越准确。两个3D散点图展示了重新参数化的有效性：左图显示，重新参数化的设计与初步步骤中的94个可行设计非常接近。相比之下，当使用原始参数化（右图）时，添加相同数量的设计并没有接近可行区域。

左：基于PCA参数化的113个DOE[ULH]

右：基于原始参数化的113个DOE[ULH]

在初步优化和通过PCA分析重新参数化之后，我们通过三种额外的方法来优化设计：

1. 原始变量和边界（Multi_1）

2. 原始变量和受限边界（Multi_2）

3. 主成分变量（Multi_3）

最大迭代次数设置为587，总共计算了1300个设计，涵盖了所有策略。

Multi_1：该方法使用原始参数化和边界。算法从713个设计开始：

· 300个来自DOE研究

· 300个来自第一次优化步骤

· 113个来自PCA重新参数化DOE

该方法找到了347个可行设计，并且得到了122个设计的Pareto前沿。

Multi_2：该方法应用原始变量，但将它们限制在第一次优化步骤中找到的可行区域边界内。优化算法从202个设计开始，这些设计经过筛选以满足这些边界条件。该方法找到了443个可行设计，并且得到了187个设计的Pareto前沿。

Multi_3：对于这种方法，modeFRONTIER工作流进行了修改，使用主成分（PCs）变量而不是原始参数化。它从207个设计开始：

· 94个来自初步步骤的可行设计

· 113个来自PCA重新参数化DOE

该方法找到了444个可行设计，并且得到了203个设计的Pareto前沿。

这项工作展示了多种方法来解决高度受限的优化问题，但并未选择某一种作为最佳方法。在最后一章，我们从不同的角度对结果进行比较，并进行了结果的稳健性分析。为了比较这四种方法的结果，我们将每种优化策略的最佳设计汇总到一个比较表中。

在目标空间中比较四种方法结果

Multi_2方法似乎提供了表现最好的设计。当我们从比较表中提取非支配设计时，发现Pareto前沿主要由Multi_2方法的设计组成。

在目标空间中显示非支配设计的3D散点图

最佳设计分布如下：

尽管Multi_3策略产生了最多的可行设计，但产生大多数最佳设计的方法是Multi_2。

稳健性分析旨在探索当输入参数存在不确定性时，响应如何变化。在本研究中，它提供了另一种比较所考虑的四种优化策略的方法。我们通过从每个优化策略的Pareto前沿中选择5个设计来设置分析，这些设计代表了基于共同标准定义的潜在折衷。

筛选规则：

l 低速扭矩 > 260 Nm

l 高速扭矩 > 40 Nm

对于每组五个设计，我们选择了最佳折衷方案，以最小化应力和铁损。四个输入参数被认为是随机变量：Fb、Lm、Mw、Th。

在每个选定的设计周围，采样了50个额外的设计，分布在该设计周围，使用每个变量标准差为0.05的正态分布。这导致每组总共采样了250个设计。然后，我们使用输出值的百分位数重新定义了约束函数，如下所示。

例如，给定输出的99百分位数保证了在设定的名义输入参数下，考虑到给定的不确定性，设计一旦实现，输出值将低于该百分位数的概率为99%。

然而，需要考虑两个关键限制：

1. 样本量处于进行有意义统计分析的下限，且涉及四个随机变量。因此，对于具有简单趋势的输出，我们将得到可接受的结果，但对于其他输出，结果可能不那么可靠。

2. 获取稳健解的理想方式是进行稳健优化，其中目标函数也以百分位数的形式表达，算法将基于这些重新定义的目标函数进行工作。

这些限制在我们的研究中是可以接受的，因为该用例更侧重于不同策略、方法和工具的定性比较，而不是定量分析。结果再次表明，Multi_2方法在五个选定设计中提供了最多的可行设计，表明它提供了更稳健的解。

尽管结果显示Multi_2总体上提供了最佳解，但本研究仍有一些局限性，我们不能在所有情况下明确地宣称它是最佳方法。我们获得的结果更多地侧重于方法论。我们展示了：

· 多步优化方法可以作为解决高度约束优化问题的有价值策略。

· PCA重新参数化是处理高度约束问题的强大工具，使用户能够集中精力在识别出的可行区域上。

· 稳健性分析可以用来评估获得解的稳健性，作为比较不同方法的解或从一组最佳设计中选择更稳健设计的工具。